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In der Mengenlehre heißen zwei Mengen A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} disjunkt (lateinisch disjunctus (-a, -um) ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

• Definitionen

• Beispiele

• Anwendung

• Eigenschaften

• Siehe auch

• Weblinks

• Einzelnachweise

Zwei Mengen A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

A ∩ ∩ B = ∅ ∅ {\displaystyle A\cap B=\emptyset } .

Eine Familie von Mengen ( M i ) i ∈ ∈ I {\displaystyle (M_{i})_{i\in I}} ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

M i ∩ ∩ M j = ∅ ∅ {\displaystyle M_{i}\cap M_{j}=\emptyset } für i ≠ ≠ j {\displaystyle i\neq j} und i , j ∈ ∈ I {\displaystyle i,j\in I} .

Dies lässt sich auch ohne Rückgriff auf Negationen formulieren:

i = j {\displaystyle i=j} für alle i , j ∈ ∈ I {\displaystyle i,j\in I} und x ∈ ∈ M i ∩ ∩ M j {\displaystyle x\in M_{i}\cap M_{j}} .

Die Vereinigung M {\displaystyle M} einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

M = ⋃ ⋃ i ∈ ∈ I ˙ ˙ M i {\displaystyle M={\dot {\bigcup _{i\in I}}}M_{i}} .

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von M {\displaystyle M} vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

• Die Mengen A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} und B = { 7 , 8 , 11 } {\displaystyle B=\{7,8,11\}} sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.

• Die Mengen A = { 1 , 2 , 7 } {\displaystyle A=\{1,2,7\}} und B = { 6 , 7 , 8 , 11 } {\displaystyle B=\{6,7,8,11\}} sind nicht disjunkt, da sie das Element 7 {\displaystyle 7} gemeinsam haben.

• Die drei Mengen A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} , B = { 4 , 5 } {\displaystyle B=\{4,5\}} und C = { 5 , 6 , 7 } {\displaystyle C=\{5,6,7\}} sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich B ∩ ∩ C {\displaystyle B\cap C} ) nicht leer ist.

• Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: { 0 } , { 1 , − − 1 } , { 2 , − − 2 } , { 3 , − − 3 } , { 4 , − − 4 } , … … {\displaystyle \{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\ldots } .

• Zwei verschiedene Geraden g {\displaystyle g} und h {\displaystyle h} in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden g {\displaystyle g} bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

1. 0 bis 1000 Euro

2. 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

• Die leere Menge ∅ ∅ {\displaystyle \emptyset } ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.

• { a } {\displaystyle \{a\}} und B {\displaystyle B} sind genau dann disjunkt, wenn a ∉ ∉ B {\displaystyle a\notin B} .

• Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.

• Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.

• Das leere Mengensystem ist paarweise disjunktcite-ref-1[1]

• Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.

Wiktionary: disjunkt

– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme

– Lern- und Lehrmaterialien

cite-note-11. ↑ Siehe die Antworten zur Frage „Is the empty family of sets pairwise disjoint?“